Question

17．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
（1）若CG=1，CD=4．求$\frac{DE}{GF}$的值．
（2）求证：FG∥AC．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此 $\frac{DE}{GF}$=$\frac{CD}{CG}$=4；
（2）根据切割线定理证出AB²=AD•AE，所以AC²=AD•AE，证出 $\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

解答 解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，
∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．
因此△CGF∽△CDE，可得$\frac{DE}{GF}$=$\frac{CD}{CG}$，
又∵CG=1，CD=4，
∴$\frac{DE}{GF}$=4；
证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，
∴AB²=AD•AE，
∵AB=AC，
∴AC²=AD•AE，可得 $\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$，
又∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，
∵四边形DEGF内接于⊙O，
∴∠ADC=∠EGF，
因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

点评 本题给出圆的切线与割线，求证直线互相平行，并求线段的比值．着重考查了切割线定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．