Question

14．定义在D上的函数f（x），若满足：?x∈D，?M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（I）设$f（x）=\frac{x}{x+1}$，证明：f（x）在$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是有界函数，并写出f（x）所有上界的值的集合；
（II）若函数g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由f（x）在$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是增函数，可得f（x）的最值，进而得到|f（x）|≤1，即可得证，并可得到上界M的集合；
（II）由题意可得|g（x）|≤3在x∈[0，2]上恒成立．所以$（-\frac{4}{4^x}-\frac{1}{2^x}）≤a≤（\frac{2}{4^x}-\frac{1}{2^x}）$，x∈[0，2]，令$t=\frac{1}{2^x}$，则$t∈[\frac{1}{4}，1]$，所以-4t²-t≤a≤2t²-t在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上恒成立，运用函数的单调性，分别求得不等式左右两边二次函数的最大值和最小值，即可得到所求a的范围．

解答 解：（I）证明：因为$f（x）=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，
所以f（x）在$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是增函数．所以$f（-\frac{1}{2}）≤f（x）≤f（\frac{1}{2}）$．
即$-1≤f（x）≤\frac{1}{3}$，
所以|f（x）|≤1，所以f（x）是有界函数．
所以，上界M满足M≥1，所有上界M的集合为[1，+∞）．
（II）因为函数g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，
所以|g（x）|≤3在x∈[0，2]上恒成立．
所以$（-\frac{4}{4^x}-\frac{1}{2^x}）≤a≤（\frac{2}{4^x}-\frac{1}{2^x}）$，x∈[0，2]．
令$t=\frac{1}{2^x}$，则$t∈[\frac{1}{4}，1]$，所以-4t²-t≤a≤2t²-t在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上恒成立，
所以${（-4{t^2}-t）_{max}}≤a≤{（2{t^2}-t）_{min}}$在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上恒成立，
令h（t）=-4t²-t，则h（t）在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上是减函数，
所以$h{（t）_{max}}=h（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{2}$；
令p（t）=2t²-t，则p（t）在$t∈[\frac{1}{4}，1]$上是增函数，
所以$p{（t）_{min}}=p（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{8}$，
所以，实数a的取值范围$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{8}}]$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用：求最值，考查转化思想和恒成立思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．