Question

6．已知函数f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的表达式；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω，可得函数的解析式．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数g（x）的单调减区间．

解答 解：（1）f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin 2ωx+$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin 2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos 2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），故该函数的最小正周期T=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$．
由题意，该函数的最小正周期为T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，所以ω=2，∴f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位长度后，得到y=sin（4x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
可得函数g（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．