Question

13．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若点P在椭圆上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$ $•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则椭圆离心率的取值范围是$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．

Answer 1

分析 设P（x，y），则满足椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$ $•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，化为x²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，利用0≤x²＜a²，即可得出．

解答 解：设P（x，y），则满足椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
又$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x，-y）．
且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$ $•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴x²-c²+y²=0，
∴y²=c²-x²．
代入椭圆方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}-{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
化为x²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∵0≤x²＜a²，
∴0≤$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}-{b}^{2}}$＜a²，又b²=a²-c²，0＜e＜1．
化简解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故答案为：$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．