Question

设有对数方程lgax=2lg（x-1）．
（1）当a=2时，解该方程；
（2）讨论当a在什么范围内取值时，该对数方程有解，并求出它的解．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数的运算性质、一元二次方程的解法即可得出；
（2）对数方程lgax=2lg（x-1）化为

ax＞0 ax=(x-1)2 x-1＞0

，可得x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．令f（x）=x²-（2+a）x+1．利用二次函数的性质、判别式即可得出．

解答： 解：（1）当a=2时，方程lgax=2lg（x-1）化为2x=（x-1）²，解得x=2±

3

，经过验证，x=2-

3

不满足条件，舍去．
∴该方程的解为x=2+

3

．
（2）对数方程lgax=2lg（x-1）化为

ax＞0 ax=(x-1)2 x-1＞0

，∴x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．
令f（x）=x²-（2+a）x+1．
而f（1）=-a＜0，因此只要

2+a

2

＞1，△=（2+a）²-4≥0或

2+a

2

=1，△=（2+a）²-4＞0即可，解得a＞0．
综上可得：当a＞0时，该对数方程有解．

点评：本题考查了对数的运算性质、一元二次方程的解法与判别式的关系、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．