Question

19．已知f（x）=$\frac{1+sinx+cosx+2sinxcosx}{1+sinx+cosx}$-cosx，
（1）求f（x）的周期及f（$\frac{π}{4}$）；
（2）若f（α）+cosα=$\frac{1}{5}$，α∈（0，π），求cosα-sinα的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系式化简变形．
（1）直接利用周期公式求得周期，并求得f（$\frac{π}{4}$）；
（2）由f（α）+cosα=$\frac{1}{5}$，α∈（0，π）求得2sinxcosx=$-\frac{24}{25}$，可得cosx-sinx＜0，放入根号内即可求值．

解答 解：f（x）=$\frac{1+sinx+cosx+2sinxcosx}{1+sinx+cosx}$-cosx=$\frac{si{n}^{2}x+cco{s}^{2}x+2sinxcosx+sinx+cosx}{1+sinx+cosx}$-cosx
=$\frac{（sinx+cosx）^{2}+sinx+cosx}{1+sinx+cosx}-cosx$=sinx+cosx-cosx=sinx．
（1）f（x）的周期T=2π，f（$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由f（α）+cosα=$\frac{1}{5}$，α∈（0，π），得sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，
两边平方得2sinxcosx=$-\frac{24}{25}$，则sinx＞0，cosx＜0，
∴cosx-sinx=-$\sqrt{（cosx-sinx）^{2}}=-\sqrt{（cosx+sinx）^{2}-4sinxcosx}$=$-\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{24}{25}}=-\frac{7}{5}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．