Question

4．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
（1）a=$\sqrt{6}$，b=1，焦点在x轴上的椭圆；
（2）与双曲线$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1有相同焦点，且经过点（3$\sqrt{2}$，2）的双曲线．

Answer 1

分析 （1）由焦点在x轴上的椭圆的标准方程，即可得到；
（2）求得已知双曲线的焦点，设所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由题意可得a²+b²=20，$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的标准方程．

解答 解：（1）由a=$\sqrt{6}$，b=1，焦点在x轴上的椭圆，
可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1；
（2）设所求双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由双曲线$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1的焦点为（±2$\sqrt{5}$，0），
可得c=2$\sqrt{5}$，即a²+b²=20，
又经过点（3$\sqrt{2}$，2），可得$\frac{18}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$．
则所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查圆锥曲线的方程的求法，注意运用圆锥曲线的几何性质，考查运算能力，属于基础题．