Question

7．已知椭圆$\frac{x^2}{36}$+$\frac{y^2}{16}$=1上的一点M到原点O的距离与左焦点F₁到原点的距离相等，则△OMF₁的面积为8．

Answer 1

分析 由椭圆方程求出c，设出M坐标，由已知及M在椭圆上联立方程组求出M纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：如图，

由椭圆$\frac{x^2}{36}$+$\frac{y^2}{16}$=1，得a²=36，b²=16，则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
设M（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=20}\\{\frac{{m}^{2}}{36}+\frac{{n}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，解得|m|=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，|n|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴△OMF₁的面积为S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{8\sqrt{5}}{5}=8$．
故答案为：8．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是基础题．