Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}{b}$．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和同角三角函数的转换关系求得tanB的值，结合特殊角的三角函数值求角B的大小；
（2）利用余弦定理列出关系式，把ac与sinB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，进而求出三角形面积的最大值，以及此时三角形的形状．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}{b}$，由正弦定理得$\frac{sinA}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}{sinB}$，
∴$tanB=\sqrt{3}$，
∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-4}}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴a²+c²=ac+4．
又∴a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，当且仅当a=c取等号．
∴$S=\frac{1}{2}acsinB≤\sqrt{3}$，
∴${S_{max}}=\sqrt{3}$．
此时△ABC为正三角形．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．