Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点为F（-2，0），离心率为2．
（1）求双曲线C的标准方程．
（2）以定点B（1，1）为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程求出a，b，c即可．
（2）设出直线方程联立方程组，利用设而不求的思想求出直线斜率，进行检验求解即可．

解答 解：（1）∵双曲线的左焦点为F（-2，0），离心率为2．
∴c=2，e=$\frac{c}{a}$=2，
即a=1，则b²=c²-a²=4-1=3，
则双曲线C的标准方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设过B（1，1）为中点的直线方程与x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{3{{x}_{1}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}=3}\\{3{{x}_{2}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=3}\end{array}\right.$，
两式相减得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁+y₂）（y₁+y₂）=0，①
若B是线段MN的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，代入①得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3，
即k_MN=3，
则直线MN的方程为3x-y-2=0，
∵B在双曲线的外部，∴要检验MN是否与双曲线相交，
将y=3x-2代入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1即3x²-y²=3得6x²-12x+7=0，
则判别式△=-24＜0，
故直线和双曲线无交点，则以B为中点的弦不存在．

点评 本题主要考查双曲线的方程以及中点弦问题，利用设而不求的数学思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力，注意要进行检验．