Question

1．已知0＜k＜2，cosα+kcosβ+（2-k）cosγ=0，sinα+ksinβ+（2-k）sinγ=0，求cos（β-γ）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 由已知条件，得到cos（β-γ）=1+$\frac{3}{2[（k-1）^{2}-1]}$，根据余弦函数和二次函数的性质即可求出最值．

解答 解：cosα+kcosβ+（2-k）cosγ=0，①
sinα+ksinβ+（2-k）sinγ=0，②）
将①②中含有α的项移到右边，得到：kcosβ+（2-k）cosγ=-cosα，③
ksinβ+（2-k）sinγ=-sinα ④，
③④两边分别平方，再左右分别相加（目的是消去α），得到：k²+（2-k）²+2k（2-k）（cosβcosγ+sinβsinγ）=1，
∴2k²-4k+4+2k（2-k）cos（β-γ）=1，
∴cos（β-γ）=$\frac{2{k}^{2}-4k+3}{2{k}^{2}-4k}$=1+$\frac{3}{2{k}^{2}-4k}$=1+$\frac{3}{2[（k-1）^{2}-1]}$，
又0＜k＜2
当k=1时，（k-1）²-1最小，此时cos（β-γ）最大，cos（β-γ）=-0.5
任意角的余弦最小为-1，当cos（β-γ）=-1，即1+$\frac{3}{2{k}^{2}-4k}$=-1，此时k=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$，
综上，cos（β-γ）最大值为-0.5，最小值为-1

点评 本题考查了三角函数的化简和求值，以及余弦函数的图象和性质，属于中档题．