Question

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求：DE与面A₁D₁B成角余弦值；
（3）在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为

π

4

？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）连结AD₁，交A₁D于点O，由EO为△ABD₁的中位线，能证明BD₁∥平面A₁DE．
（2）以点D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DE与面A₁D₁B成角余弦值．
（3）设在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为

π

4

，设M（1，y₀，0），（0≤y₀≤2），求出平面D₁MC的法向量，利用向量法能求出AM的长是2-

3

．

解答： （1）证明：连结AD₁，交A₁D于点O，
∵四边形ADD₁A₁为正方形，
∴O是AD₁的中点，∵点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD₁的中位线，∴EO∥BD₁，
又∵BD₁不包含于平面A₁DE，OE?平面A₁DE，
∴BD₁∥平面A₁DE．
（2）解：由题意可得：D₁D⊥平面ABCD，以点D为原点，
DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，
AB=2AD=2，点E为AB的中点，
∴D（0，0，0），E（1，1，0），B（1，2，0），
A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），
∴

DE

=(1，1，0)，

BA1

=(0，-2，1)，

BD1

=(-1，-2，1)，
设平面A₁B₁D的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • BA1 =-2y+z=0 m • BD1 =-x-2y+z=0

，
取y=1，得

m

=（0，1，2），
设直线DE与面A₁D₁B所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

DE

，

m

＞|=|

1

2 • 5

|=

10

10

．
∴cosθ=

1- 1 10

=

3 10

10

．
∴DE与面A₁D₁B成角余弦值为

3 10

10

．
（3）解：设在线段AB上是否存在点M，使二面角D₁-MC-D的大小为

π

4

，
设M（1，y₀，0），（0≤y₀≤2），
∵D₁（0，0，1），C（0，2，0），
∴

CM

=（1，y₀-2，0），

CD1

=（0，-2，1），
设平面D₁MC的法向量为

n

=（x₁，y₁，z₁），
则

n • CM =x1+(y0-2)y1=0 n • CD1 =-2y1+z1=0

，
取x₁=2-y₀，得

n

=（2-y₀，1，2），
∵平面ECD的一个法向量为

p

=（0，0，1），
∵二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

，
∴cos＜

n

，

p

＞=

2

(2-y0)2+1+4

=

2

2

，
解y₀=2-

3

，∴M（1，2-

3

，0），A（1，0，0），
∴|

AM

|=2-

3

，
故线段AB上是存在点M（1，2-

3

，0），
使二面角D₁-MC-D的大小为

π

4

，AM的长是2-

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．