Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2-\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），T为直线l与曲线C的公共点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点T的直角坐标；
（2）将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍（横坐标不变）后得到曲线W，直线m的极坐标方程为pcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，求直线m被曲线W截得的线段长为多少？

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C的普通方程，将直线l的参数方程代人，解得t的值，由此可得点T的直角坐标．
（Ⅱ）依题可得W的方程为x²+y²=6．求出圆心W（0，0）到直线l的距离d，由此利用勾股定理能求出直线m被曲线W截得的线段长．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2-\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代人上式，
整理得t²-4t+4=0，解得t=2，
故点T的坐标为（$\sqrt{3}$，1）．
（Ⅱ）依题意知，坐标变换式为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
故曲线W的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{（\frac{y}{\sqrt{3}}）^{2}}{2}$=1，整理，得x²+y²=6．
∵直线m的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ=\sqrt{3}$，
∴直线l的直角坐标方程为$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\sqrt{3}=0$，
曲线W是圆心为W（0，0），半径为r=$\sqrt{6}$的圆，
∴圆心W（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}$=$\sqrt{3}$，
∴直线m被曲线W截得的线段长：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{6-3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查点的直角坐标的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标的互化公式的合理运用．