Question

19．已知数列{a_n}的首项a₁=1，对?n∈N^*，都有a_n+1-a_n≤3ⁿ，a_n+2-a_n≥4•3ⁿ成立，则a₂₀₁₇=（　　）

• A． 3²⁰¹⁷-1
• B． $\frac{{3}^{2017}-1}{2}$
• C． 3²⁰¹⁷+1
• D． $\frac{{3}^{2017}+1}{2}$

Answer 1

分析 把已知两不等式变形，可得a_n+1-a_n=3ⁿ，然后利用累加法求出数列通项公式，则答案可求．

解答 解：由a_n+2-a_n≥4•3ⁿ，得
${a}_{n+2}-{a}_{n+1}+{a}_{n+1}-{a}_{n}≥4•{3}^{n}$，①
且a_n+2-a_n+1≤3•3ⁿ，即
a_n+1-a_n+2≥-3•3ⁿ，②
①+②得：${a}_{n+1}-{a}_{n}≥{3}^{n}$，
又a_n+1-a_n≤3ⁿ，
∴a_n+1-a_n=3ⁿ，
则a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3^n-1+3^n-2+…+3¹+1=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}=\frac{{3}^{n}-1}{2}$．
∴a₂₀₁₇=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．