题目内容
19．已知数列{an}的首项为a1=$\frac{1}{2}$，且2an+1=an（n∈N+）．（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）由等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得bn=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2n．由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
解答 解 （1）由于数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，且2an+1=an（n∈N+）．
所以数列{an}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
∴an=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）n-1=（$\frac{1}{2}$）n．
（2）由已知bn=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2n．
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n．
∴2Tn=1×22+2×23+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n+n•2n+1
∴相减可得-Tn=1×2+1×22+1×23+…+1×2n-1+1×2n-n•2n+1
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
点评 本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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