Question

15．过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是以侧棱为底边的等腰三角形，若侧面与底面所成的角为θ，则cosθ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 如图，延长BO交AC于D，则D为AC中点，∠SDC为侧面和底面所成角的平面角，利用余弦定理可以求解．

解答 解：延长BO交AC于D，则D为AC中点．截面为△SBD．
由正棱锥的性质，SO⊥面ABC，SD⊥AC，BD⊥AC，∠SDB为侧面和底面所成角的平面角．设底面边长BC=2．
∵SD=BD，∴SC=BC，
∵正三棱锥S-ABC为正四面体．
∴BD=$\sqrt{3}$，
在△SDB中，由余弦定理得cos∠SDB=$\frac{3+3-4}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为$\frac{1}{3}$

点评 本题考查线面角，考查数形结合的数学思想，考查余弦定理的运用，属于中档题．