Question

已知sin α=

2

3

，α∈(

π

2

，π)，cosβ=-

3

4

，β∈(π，

3π

2

) 求：
（1）cos（α-β）的值；
（2）sin（2α-

π

4

）；
（3）tan（β+

π

3

）．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）运用同角的平方关系和两角差的余弦公式，即可求得；
（2）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角差的正弦公式，即可得到；
（3）运用同角的商数关系和两角和的正切公式，即可得到．

解答： 解：（1）由sinα=

2

3

，α∈(

π

2

，π)，
则cosα=-

1- 4 9

=-

5

3

，
由于cosβ=-

3

4

，β∈(π，

3π

2

)，
则sinβ=-

1- 9 16

=-

7

4

．
则有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-

5

3

×（-

3

4

）+

2

3

×

- 7

4

=

3 5 -2 7

12

；
（2）由（1）得sin2α=2sinαcosα=-

4 5

9

，cos2α=2cos²α-1=

1

9

，
则sin（2α-

π

4

）=

2

2

（sin2α-cos2α）=

2

2

×（-

1+4 5

9

）=-

2 +4 10

18

；
（3）由（1）得tanβ=

sinβ

cosβ

=

7

3

，
则tan（β+

π

3

）=

tanβ+tan π 3

1-tanβtan π 3

=

7 3 + 3

1- 7 3 × 3

=-

4 3 +3 7

3

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查二倍角公式和两角和差的余弦和正切公式，以及同角公式，考查运算能力，属于基础题．