Question

【题目】从中这个数中取个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列这个数记为.

（1）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；

（2）求；

（3）求证:.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）通过列举，可知符合要求的递增等差数列为共个.所以；（2）由于，且，即有项，所以，故取，取个，归纳出个数；（3）由于，按照（2）的方法，求出的表达式，然后利用差比较法证明不等式.

试题解析：

（1） 符合要求的递增等差数列为共个..

（2）设满足条件的一个等差数列首项为，公差为的可能取值为.对于给定的

,当分别取时，可得递增等差数列个（如: 时，，当分别取时，可得递增等差数列个: ，其它同理）当取时，可得符合要求的等差数列个数为:.

（3）证明: 设等差数列首项为，公差为，记的整数部分是，则，即.的可能取值为,对于给定的, 当分别取时，可得递增等差数列个.当取时，符合要求的等差数列个数.由题意.又,

.

. 即.