题目内容
【题目】已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+
与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：
，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；
（2）设点A
，B
，将直线l 的方程
代入，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值
试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：
，
解得
所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，
故所求椭圆C的方程为
+x2=1．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
理由如下：
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线l 的方程y=kx+
代入
+x2=1，
并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）
则x1+x2=﹣
，x1x2=﹣
．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以
=0，即x1x2+y1y2=0．
又y1y2=k2x1x2+
k（x1+x2）+3，
于是﹣
﹣
+3=0，解得k=±
，
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
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