Question

已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：
（1）f（x）既不是奇函数也不是偶函数；（2）函数f（x）有零点．那么在函数
①f（x）=|x|-1，②f（x）=2^x-1，③f(x)=

x-2，x＞0 0，x=0 x+2，x＜0

④f（x）=x²-x-1+lnx中，
属于M的有

 

．（写出所有符合的函数序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：首先，集合M的元素满足两个条件，然后，结合给定的具体函数进行验证即可．

解答： 解：对于①函数f（x）=|x|-1，
∵f（-x）=|-x|-1=|x|-1=f（x），
∴函数f（x）=|x|-1为偶函数，
令f（x）=|x|-1=0，
解得|x|=1，即x=±1，
函数有两个零点，
∴函数f（x）=|x|-1不符合条件（1），①f（x）=|x|-1不是集合M的元素；
对于②：函数f（x）=2^x-1，
∵f（-x）=2^-x-1≠±f（x），
∴函数f（x）=2^x-1，既不是奇函数也不是偶函数，
令函数f（x）=2^x-1=0，
解得x=0，
∴函数f（x）有零点，
∴函数f（x）=2^x-1，符合给定的两个条件，即它是集合M中的元素；
对于③：当x＞0时，则-x＜0，f（-x）=-x+2=-（x-2）=-f（x），
当x＜0时，则-x＞0，f（-x）=-x-2=-（x+2）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，不符合给定的条件；
对于④：因为该函数的定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，
∴该函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，
令函数f（x）=x²-x-1+lnx=0，
即x²-x-1=-lnx，
根据x²-x-1=(x-

1

2

)2-

5

4

＞-1，
∵-lnx∈R，
∴函数f（x）有零点，
∴函数f（x），符合给定的两个条件，它是集合M中的元素；
故答案为②④．

点评：本题重点考查函数的基本性质和应用，理解函数的零点和函数的奇偶性是解题的关键，属于中档题．