Question

在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为

3

2

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；
（3）已知抛物线上一点M（4，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断：直线DE是否过定点？说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由圆Q过O点与F点，可得圆心Q在线段OF的垂直平分线x=

p

4

上，结合准线方程，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）过F倾斜角为60°的直线L：y=

3

（x-1），代入抛物线方程，结合韦达定理，即可求△AOB的面积；
（3）设直线DE：x=my+t，代入抛物线方程，消去x，利用MD⊥ME，结合向量的数量积公式，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵F(

p

2

，0)，
∴圆心Q在线段OF的垂直平分线x=

p

4

上，
又∵准线方程为：x=-

p

2

，
∴

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，得p=2，
∴抛物线C：y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过F倾斜角为60°的直线L：y=

3

（x-1）．

y2=4x y= 3 (x-1)

得：y2-

4

3

3

y-4=0，
∴y1+y2=

4

3

3

  ，  y1y2=-4，
∴S△=

1

2

×|OF|×|y2-y1|=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

•

16 3 +16

=

4

3

3

（3）设直线DE：x=my+t，代入抛物线方程，消去x可得y²-4my-4t=0，则△=16m²+16t＞0（*）
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∵0=

MD

•

ME

=(x1-4，y1-4)•(x2-4，y2-4)=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16
=

y12

4

•

y22

4

-4(

y12

4

+

y22

4

)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=

(y1y2)2

16

-(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32
=t²-16m²-12t+32-16m，
∴t²-12t+32=16m²+16m，得：（t-6）²=4（2m+1）²，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直线过定点（8，-4）．（定点（4，4）不满足题意，故舍去）

点评：本题考查抛物线的方程，考查准线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．