Question

在△ABC中，BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，建立适当的直角坐标系，求点A的轨迹方程．

Answer 1

考点：椭圆的定义,等差数列的性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：以BC边所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，距离直角坐标系．则B（-2，0），C（2，0）．由于BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，可得2sinA=sinB+sinC，由正弦定理可得：AC+AB=2BC=8＞BC=4，可得点A的轨迹是以B，C为焦点，8为实轴长的椭圆，除去椭圆与x轴的两个交点．

解答： 解：以BC边所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，距离直角坐标系．则B（-2，0），C（2，0）．
∵BC=4，且sinB，sinA，sinC成等差数列，
∴2sinA=sinB+sinC，
由正弦定理可得：AC+AB=2BC=8＞BC=4，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点，8为实轴长的椭圆，除去椭圆与x轴的两个交点．
设要求的椭圆标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(y≠0)，
∵c=2，a=4，∴b²=a²-c²=12．
∴椭圆的方程为：

x2

16

+

y2

12

=1(y≠0)．

点评：本题考查了椭圆的定义、标准方程、正弦定理、等差数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．