Question

【题目】已知点是抛物线的焦点，点，在上，且．

（1）求的值；

（2）若直线经过点且与交于，（异于）两点，证明：直线与直线的斜率之积为常数．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据抛物线的焦半径公式，即可求出的值；

（2）由（1）求出，先考虑斜率不存在时，求出直线与直线的斜率之积，当直线斜率存在时，设直线方程与抛物线方程联立，求出两点的纵坐标关系，再将直线与直线的斜率之积用纵坐标表示，化简即可证明结论.

（1）由抛物线定义知．

（2）由（1），得，．

当直线经过点且垂直于轴时，不妨设，，

则直线的斜率，直线的斜率，

所以．

当直线不垂直于轴时，设，，

设直线的斜率为（显然且），

则直线的方程为．

联立，消去，得，

，

所以，，

则直线的斜率，

同理直线的斜率．

∴

，

综上，直线与直线的斜率之积为．