Question

【题目】某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元.设余下工程的总费用为万元.

（1）试将表示成关于的函数；

（2）需要修建多少个增压站才能使总费用最小？

Answer 1

【答案】（1）；（2）19个

【解析】

（1）由题可知需要新建个增压站，即可求得余下工程的总费用，得到函数的解析式；

（2）由（1）可得，利用导数求出的单调性与最值，即可得解.

解：（1）设需要新建个增压站，且，即，

则关于的函数关系式为

；

（2）由（1）知，，，

令，得，解得，

当时，，在区间内为减函数，

当时，，在区间内为增函数，

所以在处取得最小值，

此时，即需新建19个增压站才能使最小.