Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=

1

f(x)

；②函数y=f（x+1）是偶函数；③当x∈（0，1]时，f（x）=xe^x，则f(-

3

2

)，f(

21

4

)，f(

22

3

)从小到大的排列是

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可得函数y=f（x）为周期为2的函数，从而可得f(-

3

2

)=f（

1

2

），f（

22

3

）=f（8-

2

3

）=f（-

2

3

）=f（

2

3

），f(

21

4

)=f（6-

3

4

）=f（

3

4

）；利用单调性求解．

解答： 解：由题意，
f(x+1)=

1

f(x)

=f（x-1）；
故函数y=f（x）为周期为2的函数；
f(-

3

2

)=f（

1

2

）；
f（

22

3

）=f（8-

2

3

）=f（-

2

3

）=f（

2

3

）；
f(

21

4

)=f（6-

3

4

）=f（

3

4

）；
∵当x∈（0，1]时，f（x）=xe^x是增函数，
故f（

1

2

）＜f（

2

3

）＜f（

3

4

）；
即f(-

3

2

)＜f(

22

3

)＜f(

21

4

)；
故答案为：f(-

3

2

)＜f(

22

3

)＜f(

21

4

)．

点评：本题考查了函数的性质的综合应用，属于基础题．