Question

已知函数y=f（x+1）是R上的偶函数，且x＞1时f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，则（x+3）f（x+4）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：本题由条件当x＞1时，f′（x）＜0得到y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，再由函数y=f（x+1）是R上的偶函数，得到函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，得到函数y=f（x）在（-∞，1）上单调递增，再由f（4）=0，得到图象过定点，得到函数值的正负情况，将（x+3）f（x+4）＜0转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．

解答： 解：∵当x＞1时，f′（x）＜0恒成立，
∴函数y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∵函数y=f（x+1）是R上的偶函数，
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴函数y=f（x）在（-∞，1）上单调递增，
∵f（4）=0，
∴当f（x）＞0时，-2＜x＜4；
当f（x）＜0时，x＜-2或x＞4．
∴由（x+3）f（x+4）＜0得：

x+3＞0 f(x+4)＜0

或

x+3＜0 f(x+4)＞0

，
即

x＞-3 x+4＜-2或x+4＞4

或

x＜-3 -2＜x+4＜4

，
解得：-6＜x＜-3或x＞0，
∴（x+3）f（x+4）＜0的解集是：（-6，-3）∪（0，+∞）．
故答案为：（-6，-3）∪（0，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、函数值的正负与图象的关系，本题难度不大，属于基础题．