Question

函数，其中为实常数。

（1）讨论的单调性；

（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，设，。是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找出的一个值，并证明；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）定义域为，

①当时，，在定义域上单增；

②当时，当时，，单增；当时，，单减。

增区间：，减区间：。

综上可知：当时，增区间，无减区间；当时，增区间：，减区间：。

（2）对任意恒成立

，令，

，在上单增，

，，故的取值范围为。

（3）存在，如等。下面证明：

及成立。

①先证，注意，

这只要证（*）即可，

容易证明对恒成立(这里证略)，取即可得上式成立。

让分别代入（*）式再相加即证：，

于是。

②再证，

法一：

只须证，构造证明函数不等式：，

令，，当时，

在上单调递减,又当时，恒有，即恒成立。

，取，则有，

让分别代入上式再相加即证：

，

即证。

法二：，

，

又故不等式成立。

（注意：此题也可用数学归纳法！）