Question

12．对于△ABC，有如下命题：
①若$\frac{tanA}{tanB}=\frac{a^2}{b^2}$，则△ABC一定为等腰三角形；
②若$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}=\frac{b^2}{a^2}$，则△ABC一定为等腰三角形；
③若sin²A+cos²B=1，则△ABC一定为等腰三角形；
④若sin²A+sin²B+cos²C＜1，则△ABC一定为钝角三角形
其中错误命题的序号是①②．

Answer 1

分析 ①利用正弦定理化简求得sin2A=sin2B，可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，△ABC为等腰三角形或直角三角形；
②利用正弦定理化简sin2A=sin2B，△ABC为等腰三角形或直角三角形；
③利用同角三角函数的基本关系，求得A=B，故正确；
④利用正弦定理化简，根据余弦定理进行判断cosC＜0，C为钝角，则△ABC一定为钝角三角形．

解答 解：由①$\frac{tanA}{tanB}=\frac{a^2}{b^2}$，即b²tanA=a²tanB，
由正弦定理可知：a=2RsinA，b=2RsinB，则sin²B×$\frac{sinA}{cosA}$=sin²A×$\frac{sinB}{cosB}$，即sinAcosA=sinBcosB，
则sin2A=sin2B，则A=B，或2（A+B）=π，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①错误；
对于②由余弦定理可知：$\frac{2bccosA}{2accosB}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，整理得2sinAcosA=2sinBcosB，
则sin2A=sin2B，则A=B，或2（A+B）=π，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故②错误；
对于③sin²A+cos²B=1，得sin²A=sin²B，
∴A=B，
△ABC一定为等腰三角形，故③成立；
④由sin²A+sin²B+cos²C＜1可得sin²A+sin²B＜sin²C，
由正弦定理可得a²+b²＜c²，
再由余弦定理可得cosC＜0，C为钝角，故④正确；
故答案为：①②．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查同角三角形的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．