Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）联立方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入直线y=ax+1可求y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1），由题意可得，，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入可求a的值．
（2）假定存在这样的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线对称．则由，两式相减得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，由题意可知，整理可求
解答：解：（1）联立方程，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0．…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么：…（4分）
由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即x₁x₂+y₁y₂=0．
所以：x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
∴，
∴-2（a²+1）+2a²+3-a²=0
即a²=1
解得a=±1…（6分）
（2）假定存在这样的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线对称．…（8分）
那么：，两式相减得：3（x₁²-x₂²）=y₁²-y₂²，从而
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线对称，所以
代入（*）式得到：-2=6，矛盾．
也就是说：不存在这样的a，使A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线对称．…（12分）
点评：本题主要考查了直线与双曲线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，点关于直线对称性质的应用，属于综合性试题