Question

14．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为$\frac{16π}{9}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，则圆锥的母线长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圆锥可得：该几何体是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，可知：圆锥底面的半径r=2．可得∠AOB=120°．设圆锥的高为h，利用圆锥与三棱锥的体积计算公式可得该几何体的体积为$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}π×{2}^{2}$×h+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$×h，解得h即可得出．

解答 解：由圆锥可得：该几何体是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，
可知：圆锥底面的半径r=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
∴∠AOB=120°．
设圆锥的高为h，
∴体积$\frac{16π}{9}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}π×{2}^{2}$×h+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$×h，
解得h=2．
∴圆锥的母线长=$\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆锥的三视图、圆锥的体积与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．