Question

17．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}=（x，y），\overrightarrow{AC}$=（u，v），试用x，y，u，v表示△ABC的面积．

Answer 1

分析 根据向量夹角的余弦公式可求出cosA，进而求出sinA，这样根据三角形面积公式便可得出△ABC的面积．

解答 解：$cosA=\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{xu+yv}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}}$；
∴$sinA=\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{（xu+yv）^{2}}{（{x}^{2}+{y}^{2}）（{u}^{2}+{v}^{2}）}}$=$\frac{|xv-yu|}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sinA$=$\frac{1}{2}•\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}•\frac{|xv-yu|}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}}}$=$\frac{1}{2}|xv-yu|$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度，向量夹角的余弦公式，以及三角形面积公式．