Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$acosC+\sqrt{3}asinC-b-c=0$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=7，b+c=11，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（2）由（1）和余弦定理列出方程，代入数据求出bc的值，由三角形的面积公式求出答案．

解答 解：（1）由acos C+$\sqrt{3}$asin C-b-c=0和正弦定理得，
sin Acos C+$\sqrt{3}$sin Asin C-sin B-sin C=0．
因为B=π-A-C，
所以sin Acos C+$\sqrt{3}$sin Asin C-sin（A+C）-sin C=0．
化简得，$\sqrt{3}$sin Asin C-cos Asin C-sin C=0，
由于sin C≠0，所以$\sqrt{3}$sin A-cosA=1，
所以$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，故A=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）由（1）和余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
因为a=7，b+c=11，所以bc=24，
所以△ABC的面积：
$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×24×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$…（10分）

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形能力，属于中档题．