Question

设x，y∈R，，为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若向量，，且．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若，求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，可得点M（x，y）到两个定点F₁（，0），F₂（，0）的距离之和为，从而点M的轨迹C是以F₁、F₂为焦点的椭圆，故可得方程；
（2）当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及x₁•x₂+y₁•y₂=0，可得直线L与圆x²+y²=2相切；当直线的斜率不存在时，可得直线为，与圆x²+y²=2相切．
解答：（1）解：∵，，且．
∴点M（x，y）到两个定点F₁（，0），F₂（，0）的距离之和为
∴点M的轨迹C是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其方程为（5分）
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线与椭圆的方程，得
消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以16k²m²-4（1+2k²）（2m²-6）＞0，所以m²＜6k²+3（﹡）
，（7分）
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∵，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴=0
∴m²=2k²+2满足（﹡）式，并且，即原点到直线L的距离是，
∴直线L与圆x²+y²=2相切．（10分）
当直线的斜率不存在时，直线为x=m，
∴A（m，），B（m，-），
∵，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴，，直线L的方程是，
∴直线L与圆x²+y²=2相切．
综合之得：直线L与圆x²+y²=2相切．（12分）
点评：本题考查向量知识的运用，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆、椭圆的位置关系，正确运用向量条件是关键．