Question

（本小题满分13分）若集合具有以下性质：①②若，则，且时，.则称集合是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题：若，则必有；
命题：若，且，则必有；

Answer 1

（Ⅰ）有理数集是“好集”.  （Ⅱ）.
（Ⅲ）命题均为真命题.. 

(I)先假设集合是“好集”.因为，，所以
这与矛盾.这样就确定集合不是“好集”.有理数Q也采用同样的方法,进行推证.
(II)根据好集的定义是“好集”，则，然后再根据x,y的任意性，可证明.
(III)本小题也是先假设p、q都是真命题，然后根据好集的定义进行推证._.
（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假设集合是“好集”.
因为，，所以. 这与矛盾.…………2分
有理数集是“好集”. 因为，,对任意的，有，且时，.所以有理数集是“好集”.    ………………………………4分
（Ⅱ）因为集合是“好集”，所以 .若，则，即.
所以，即.          …………………………6分
（Ⅲ）命题均为真命题. 理由如下：     ………………………………………7分
对任意一个“好集”，任取， 若中有0或1时，显然.
下设均不为0，1. 由定义可知：.所以，即.  
所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.
若或，则显然.若且，则.
所以 .   所以 _.由（Ⅱ）可得：.
所以 .综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.
所以 ，即命题为真命题.    ……………………………………13分