Question

8．若正数x，y满足15x-y=22，则x³+y³-x²-y²的最小值为1．

Answer 1

分析 由题意可得x＞$\frac{22}{15}$，y＞0，又x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²），求出y³-y²≥-$\frac{1}{4}$y，当且仅当y=$\frac{1}{2}$时取得等号，设f（x）=x³-x²，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．

解答 解：由正数x，y满足15x-y=22，可得y=15x-22＞0，则x＞$\frac{22}{15}$，y＞0，
又x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²），
其中y³-y²+$\frac{1}{4}$y=y（y²-y+$\frac{1}{4}$）=y（y-$\frac{1}{2}$）²≥0，
即y³-y²≥-$\frac{1}{4}$y，
当且仅当y=$\frac{1}{2}$时取得等号，
设f（x）=x³-x²，f（x）的导数为f′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
当x=$\frac{3}{2}$时，f（x）的导数为$\frac{3}{2}$×（$\frac{9}{2}$-2）=$\frac{15}{4}$，
可得f（x）在x=$\frac{3}{2}$处的切线方程为y=$\frac{15}{4}$x-$\frac{9}{2}$．
由x³-x²≥$\frac{15}{4}$x-$\frac{9}{2}$?（x-$\frac{3}{2}$）²（x+2）≥0，
当x=$\frac{3}{2}$时，取得等号．
则x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²）≥$\frac{15}{4}$x-$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{4}$y≥$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{8}$=1．
当且仅当x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{1}{2}$时，取得最小值1．
故答案为：1．

点评 本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．