Question

12．已知f（x）是定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x＞1时，f（x）=$\frac{x}{x-1}$
（1）当x＜-1时，求f（x）的解析式；
（2）求函数$f（\frac{1}{x}）$的定义域；
（3）证明f（x）在（1，+∞）上为减函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性和函数在x＞1的解析式，得到$f（x）=-f（-x）=-\frac{x}{x+1}$；
（2）根据f（x）的定义域，列出不等式得到函数f（$\frac{1}{x}$）的定义域；
（3）直接根据单调性的定义运用作差比较法证明函数的单调性．

解答 （1）设x＜-1，则-x＞1，
∵f（x）为定义域上的奇函数，
∴$f（x）=-f（-x）=-\frac{x}{x+1}$，
即x＜-1时，函数的解析式为f（x）=-$\frac{x}{x+1}$；
（2）∵f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
∴$\frac{1}{x}$＜-1，或$\frac{1}{x}$＞1，
解得-1＜x＜0，或0＜x＜1，
∴函数$f（\frac{1}{x}）$的定义域为：（-1，0）∪（0，1）；
（3）任取x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{{{x_1}-1}}-\frac{x_2}{{{x_2}-1}}=\frac{{{x_1}（{x_2}-1）-{x_2}（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数．

点评 本题主要考查了函数解析式和定义域的解法，以及根据单调性的定义运用作差比较法证明函数的单调性，属于中档题．