Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为

2

的正方形，E为PC的中点，PB=PD．
（1）证明：BD⊥平面PAC．
（2）若PA=PC=2，求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接A、C，交BD于O，连接p、O，由已知得BD⊥AC，BD⊥PO，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由已知得PO⊥AC，从而PO⊥平面ABCD，E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，由此能求出三棱锥E-BCD的体积．

解答： （1）证明：连接A、C，交BD于O，连接p、O，
∵O是正方形ABCD的对角线交点，
∴BD⊥AC，又∵PB=PD，O是BD的中点，∴BD⊥PO，
又∵PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
（2）解：∵PA=PC=2，∴△PAC是等腰三角形，
又∵O是AC的中点，∴PO⊥AC，
∴PO⊥平面ABCD．
∵AB=

2

，∴AO=

1

2

AC=

1

2

×

2

×AB=1，
∴PO=

PA2-AO2

=

4-1

=

3

，
又∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，
∴V_E-BCD=

1

3

×S△BCD×(

1

2

PO)=

1

3

×

1

2

×(

2

)2×(

1

2

×

3

)=

3

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．