Question

已知抛物线，为抛物线的焦点， 为抛物线上的动点，过作抛物线准线的垂线，垂足为．

（1）若点与点的连线恰好过点，且，求抛物线方程；

（2）设点在轴上，若要使总为锐角，求的取值范围．

 

Answer 1

(1)；(2)且．

【解析】

试题分析：（1）先由题意知：|AQ|=|AF，再依据A为PF的中点且点A在抛物线上，求得p值，从而得出抛物线方程；

（2）设A（x，y），y2=2px，根据题意：∠MAF为锐角根据向量的数量积得出：对x≥0都成立，令对x≥0都成立，下面结合二次函数的性质分类讨论，即可求得m的取值范围即可．

试题解析：（1）由题意知：，，为的中点，

，且点在抛物线上，代入得

所以抛物线方程为． 4分

（2）设，，

根据题意：为锐角且

，

， 所以得对都成立

令

对都成立 9分

（1）若，即时，只要使成立，

整理得：，且，

所以．

（2）若，即，只要使成立，得

所以 13分

由（1）（2）得的取值范围是且． 10分

考点：1．抛物线的标准方程和简单性质；2．向量的数量积；3．计算能力．