题目内容
在空间直角坐标系D-xyz中，四棱锥P-ABCD的底面是一个平行四边形，
=（2，-1，-4），
=（4，2，0），
=（-1，2，-1）
（1）求证：PA⊥底面ABCD
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．
| AB |
| AD |
| AP |
（1）求证：PA⊥底面ABCD
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得
•
=0，
•
=0，由此能证明PA⊥底面ABCD．
（2）由cos＜
，
＞，求得sin＜
，
＞，从而由S四边形ABCD=|
|×|
|×sin＜
，
＞，求出四边形ABCD的面积，由
=（-1，2，-1），求出|
|，再由PA⊥底面ABCD，能求出四棱锥P-ABCD的体积．
| AP |
| AB |
| AD |
| AP |
（2）由cos＜
| AB |
| AD |
| AB |
| AD |
| AB |
| AD |
| AB |
| AD |
| AP |
| AP |
解答：
（1）证明：∵
=（2，-1，-4），
=（4，2，0），
=（-1，2，-1），
∴
•
=-2-2+4=0，
•
=-4+4+0=0，
∴
⊥
，
⊥
，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥底面ABCD．
（2）解：∵四棱锥P-ABCD的底面是一个平行四边形，
=（2，-1，-4），
=（4，2，0），
∴cos＜
，
＞=
=
，∴sin＜
，
＞=
=
，
∴S四边形ABCD=|
|×|
|×sin＜
，
＞=
×
×
=8
，
∵
=（-1，2，-1），∴|
|=
=
，
∵PA⊥底面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积：
V=
×|
|×S四边形ABCD=
×
×8
=16．
| AB |
| AD |
| AP |
∴
| AP |
| AB |
| AD |
| AP |
∴
| AP |
| AB |
| AP |
| AD |
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又AB∩AD=A，∴PA⊥底面ABCD．
（2）解：∵四棱锥P-ABCD的底面是一个平行四边形，
| AB |
| AD |
∴cos＜
| AB |
| AD |
| 8-2+0 | ||||
|
| 3 | ||
|
| AB |
| AD |
1-(
|
4
| ||
|
∴S四边形ABCD=|
| AB |
| AD |
| AB |
| AD |
| 21 |
| 20 |
4
| ||
|
| 6 |
∵
| AP |
| AP |
| 1+4+1 |
| 6 |
∵PA⊥底面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积：
V=
| 1 |
| 3 |
| AP |
| 1 |
| 3 |
| 6 |
| 6 |
点评：本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
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已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（ ）
| A、（-1，0） | ||
| B、（-1，1） | ||
C、（0，
| ||
| D、（0，1） |
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为AB、BB1的中点．
设非零向量
和
满足2|
|=|
|，
⊥（
+
），则
与
的夹角为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、1 | ||
D、
|