Question

已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x；
（1）求f（x）；
（2）当x∈[-1，2]时，求f（2^x）的最大值与最小值．
（3）若f（x）-1≤a在x∈[0，3]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设二次函数为f（x）=ax²+bx+c（a≠0），然后根据已知条件列出关于a，b，c的方程组即可；
（2）采用换元法，问题转化为二次函数在指定区间上的最值问题；
（3）这是一道不等式恒成立问题，只需求出函数f（x）-1在[0，3]上的最大值即可．

解答： 解：（1）由题意设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则由f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x可得：
2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x对任意的x恒成立．
故

2a=2 2b=-4 2a+2c=0

，解得a=1，b=-2，c=-1．
所以f（x）=x²-2x-1．
（2）令t=2^x∈[

1

2

，4]．则原函数可化为：
g（t）=t2-2t-1=(t-1)2-2，t∈[

1

2

，4]，
易知，g（t）_min=g（1）=-2，g（t）_max=g（4）=7．
即f（2^x）当x∈[-1，2]时，最大值为7，最小值为-2．
（3）令h（x）=f（x）-1=x²-2x-2，x∈[0，3]．
易知h（x）=（x-1）²-3，x∈[0，3]，显然x=3时，h（x）_max=1．
所以要使f（x）-1≤a恒成立，只需a≥1即可．
故所求a的范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数在指定区间上的最值问题，不等式恒成立问题的解法，属于常规题，难度不大．