Question

19．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，f（-1）=320且$cosx-sinx=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，则$f[\frac{15sin2x}{{cos（x+\frac{π}{4}）}}]$的值为（　　）

• A． 240
• B． 260
• C． 320
• D． -320

Answer 1

分析 把cosx-sinx提取$\sqrt{2}$，利用两角和的余弦函数公式的逆运算化为一个角的余弦函数，即可求得cos（x+$\frac{π}{4}$）的值，然后利用诱导公式求出sin2x的值，进而求得等于f（7），根据f（x）的图象关于直线x=3对称，得到f（3+x）=f（3-x），即可推出f（7）=f（-1）可求出值．

解答 解：∵$cosx-sinx=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}$，∴$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，得cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
又∵sin2x=-cos（$\frac{π}{2}$+2x）=1-2cos²（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{7}{25}$
∴$f[\frac{15sin2x}{{cos（x+\frac{π}{4}）}}]$=f（7）
由题意y=f（x）关于直线x=3对称
∴f（3+x）=y=f（3-x）
即f（7）=f（3+4）=f（3-4）=f（-1）=320，
故选C．

点评 考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式及两角和的余弦函数公式化简求值，会利用函数的对称性解决实际问题．