Question

12．已知$cos（{α-\frac{π}{6}}）+sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$，且$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，则$sin（{α+\frac{π}{3}}）$的值是（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{3}-3}}{10}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}+3}}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}-4}}{10}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$

Answer 1

分析 根据和与差的公式和同角三角函数关系式，诱导公式，构造思想，可得答案．

解答 解：由$cos（{α-\frac{π}{6}}）+sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα+sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，即$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα=$\frac{4}{5}$．
那么cos（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$＞0
$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$α-\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
∴sin（$α-\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$
则$sin（{α+\frac{π}{3}}）$=sin（$α-\frac{π}{3}+\frac{2π}{3}$）=sin（$α-\frac{π}{3}$）cos$\frac{2π}{3}$+cos（$α-\frac{π}{3}$）sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$
故选A

点评 本题主要考查同角三角函数关系式和与差的公式、诱导公式，构造思想应用，属于基本知识的考查．