Question

17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的两条准线间的距离为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=λ，若直线l与y轴不重合，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题设条件求出b和a，由此可以求出椭圆的标准方程；
（ 2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得一元二次方程，由韦达定理及再由$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=λ，与y₁的关系即可求得λ的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由条件可得：$\frac{2{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{6}$，则b=$\sqrt{2}$，所以椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，
与椭圆方程联立消去y，得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根据韦达定理得，x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，（*）
由$\frac{|PM|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|NQ|}$=λ，得$\frac{0-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=$\frac{0-{x}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$，
整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的（*）式代入得x₀=-$\frac{1}{k}$，
又点N在直线y=kx+2上，所以y₀=k（-$\frac{1}{k}$）+2=1，于是由图象知1＜y₁＜$\sqrt{2}$，
λ=$\frac{2-{y}_{1}}{{y}_{1}-1}$=$\frac{1}{{y}_{1}-1}$-1，由1＜y₁＜$\sqrt{2}$，得$\frac{1}{{y}_{1}-1}$＞$\sqrt{2}$+1，所以λ＞$\sqrt{2}$．
综上所述，λ＞$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．