Question

2．若关于x的方程（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$，+∞）
• B． （e，+∞）
• C． （1，e）
• D． （1，$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$）

Answer 1

分析 令g（x）=|x-2|e^x，则方程有6解等价于g²（x）-2ag（x）+a=0有6解，判断g（x）的单调性得出g（x）=t的根的分布情况，得出方程t²-2at+a=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出a的范围．

解答 解：∵（x-2）²e^x+ae^-x=2a|x-2|，
∴（x-2）²e^2x-2a|x-2|e^x+a=0，
令g（x）=|x-2|e^x=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）{e}^{x}，x≥2}\\{（2-x）{e}^{x}，x＜2}\end{array}\right.$，则g′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{（x-1）e}^{x}，x≥2}\\{（1-x）{e}^{x}，x＜2}\end{array}\right.$，
∴当x≥2或x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，g（x）取得极大值t（1）=e，
又x→-∞时，g（x）→0，g（2）=0，x→+∞时，g（x）→+∞，
作出g（x）的函数图象如图所示：

令g（x）=t，
由图象可知：当0＜t＜e时，方程g（x）=t＜有3解；当t=0或t＞e时，方程g（x）=t有1解；
当t=e时，方程g（x）=t有2解；当t＜0时，方程g（x）=t无解．
∵方程（x-2）²e^2x-2a|x-2|e^x+a=0有6解，
即g²（x）-2ag（x）+a=0有6解，
∴关于t的方程t²-2at+a=0在（0，e）上有2解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\\{{e}^{2}-2ae+a＞0}\\{0＜a＜e}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2e-1}$．
故选D．

点评 本题考查了函数单调性的判断，方程根的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．