Question

你能利用如图，给出下列两个等式的一个证明吗？

1

2

（sinα+sinβ）=sin

α+β

2

cos

α-β

2

；

1

2

（cosα+cosβ）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

Answer 1

考点：三角函数线

专题：三角函数的求值

分析：求出线段AB的中点M的坐标，过M作MM₁垂直于x轴，交x轴于M₁，则直角三角形中，根据三角形的半径关系进行求解即可．

解答： 解：线段AB的中点M的坐标为（

1

2

（cosα+cosβ），

1

2

（sinα+sinβ））．过M作MM₁垂直于x轴，交x轴于M₁
∠MOM1=

1

2

(β-α)+α=

α+β

2

．
在Rt△OMA中，OM=OAcos

β-α

2

=cos

α-β

2

．
在Rt△OM₁M中，OM₁=OMcos∠MOM₁=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．
M₁M=OMsin∠MOM₁=sin

α+β

2

cos

α-β

2

．
于是有

1

2

（sinα+sinβ）=sin

α+β

2

cos

α-β

2

；

1

2

（cosα+cosβ）=cos

α+β

2

cos

α-β

2

．

点评：本题主要考查三角函数式的化简和证明，根据三角函数线之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．