题目内容
已知向量
=（3，-4tanα），
=（4，5cosα）．
（1）若
∥
，求sinα的值；
（2）若
⊥
，且α∈（0，
），求cos（2α-
）的值．
| a |
| b |
（1）若
| a |
| b |
（2）若
| a |
| b |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量的坐标运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量共线定理和同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用向量垂直于数量积的关系、同角三角函数基本关系式、倍角公式、诱导公式即可得出．
（2）利用向量垂直于数量积的关系、同角三角函数基本关系式、倍角公式、诱导公式即可得出．
解答：
解：（1）∵
∥
，∴15cosα=-16tanα，
∴15cos2α+16sinα=0，即15sin2α-16sinα-15=0，
解得sinα=-
或sinα=
（舍去），
∴sinα=-
．
（2）∵
⊥
，
∴
•
=0，即12-20tanαcosα=0，
∴12-20sinα=0，即sinα=
，
∵α∈(0，
)，∴cosα=
，
∴sin2α=2sinαcosα=
，cos2α=1-2sin2α=
，
∴cos(2α-
)=
cos2α+
sin2α=
×
+
×
=
．
| a |
| b |
∴15cos2α+16sinα=0，即15sin2α-16sinα-15=0，
解得sinα=-
| 3 |
| 5 |
| 5 |
| 3 |
∴sinα=-
| 3 |
| 5 |
（2）∵
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∴12-20sinα=0，即sinα=
| 3 |
| 5 |
∵α∈(0，
| π |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
∴sin2α=2sinαcosα=
| 24 |
| 25 |
| 7 |
| 25 |
∴cos(2α-
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 25 |
| ||
| 2 |
| 24 |
| 25 |
7+24
| ||
| 50 |
点评：本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、向量垂直于数量积的关系、倍角公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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