Question

18．已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，当x＞0 时，f（x）＞3，那么，当f（2a+1）＜5时，实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先判断f（x）的单调性，再计算f（2）=5，不等式转化为2a+1＜2解出．

解答 解：设x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞3，
∴f（x₂-x₁）＞3，
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-3，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）-3=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）-3＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上递增，
∵f（3）=f（2）+f（1）-3=f（1）+f（1）-3+f（1）-3=3f（1）-6=6，
∴f（1）=4，∴f（2）=5
∴f（2a+1）＜5等价于2a+1＜2．
 a＜$\frac{1}{2}$
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查抽象函数的性质，考查利用单调性解不等式，已知抽象函数的运算性质，常用“赋值法”，属于基础题．