Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点

(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；

(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=x对称？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解析：(1)由消去y，得

(3-a²)x²-2ax-2=0.                               ①

依题意

即-＜a＜且a≠±3.                 ②

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

但y₁y₂=a²x₁x₂+a(x₁+x₂)+1,

由③④，x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴(a²+1)·+a·+1=0.

解得a=±1且满足②.

(2)假设存在实数a，使A、B关于y=x对称，则直线y=ax+1与y=x垂直，

∴a·=-1，即a=-2.

直线l的方程为y=-2x+1.

将a=-2代入③得x₁+x₂=4.

∴AB中点横坐标为2，

纵坐标为y=-2×2+1=-3.

但AB中点(2，-3)不在直线y=x上,

即不存在实数a，使A、B关于直线y=x对称.