Question

15．在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是三角形ABC的重心，则$\overrightarrow{OG}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OC}$
• B． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$

Answer 1

分析 由重心的性质得出$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OG}$，再利用$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}$即可得出答案．

解答 解：∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$，
又$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OG}$，$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OG}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OG}$，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$-2$\overrightarrow{OG}$，
∴3$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，
即$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，三角形重心的性质，属于中档题．