Question

8．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，△BCE是正三角形，AB⊥平面BCE，F，G分别是线段CD，BE的中点．
（Ⅰ）求证：直线FG∥平面ADE；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱锥A-DEG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）利用等体积转换，即可求三棱锥A-DEG的体积．

解答 （Ⅰ）证明：如图，取AE的中点H，连接HG，HD
∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=$\frac{1}{2}$AB，
又∵F是CD中点，四边形ABCD是正方形，
∴DF∥AB，且DF=$\frac{1}{2}$AB，即GH∥DF，且GH=DF，
∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，
又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．
（Ⅱ）解：连接CG，
∵AB⊥平面BCE，CG?面BCE，
∴AB⊥CG，
∵△BCE是正三角形，G是线段BE的中点，
∴CG⊥BE，
∵AB∩BE=B，
∴CG⊥平面ABE，
∵△BCE是正三角形，AB=2，
∴CG=$\sqrt{3}$，
∵CD∥AB，AB?平面ABE，CD?平面ABE，
∴CD∥平面ABE，
∴D到平面AEG的距离等于CG，即$\sqrt{3}$
∴三棱锥A-DEG的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间线面位置关系，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．